Lý thuyết định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a;b)), (x_0in (a;b)). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số (dfracf(x)-f(x_0)x-x_0)  khi (x → x_0) được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  (x_0), kí hiệu là (f'( x_0)) hay (y'( x_0)). Như vậy:

(f’left( x_0 right) = mathop lim limits_x to x_0 dfracfleft( x right) – fleft( x_0 right)x – x_0)

Nếu đặt (x – x_0= ∆x) và (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0)) thì ta có

(f’left( x_0 right) = mathop lim limits_Delta x to 0 dfracDelta yDelta x)

Đại lượng (∆x) được gọi là số gia của đối số tại (x_0) và đại lượng (∆y) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Với (∆x) là số gia của số đối tại (x_0) ,tính (∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0));

Bước 2. Lập tỉ số ( dfracDelta yDelta x);

Bước 3. Tính (mathop lim limits_Delta x to 0 dfracDelta yDelta x).

Nhận xét: nếu thay (x_0) bởi (x) ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số (y = f(x)) tại điểm (x ∈ (a;b)).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số (y = f(x)) có đạo hàm tại (x_0) thì nó liên tục tại (x_0)_.

Chú ý.

Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu (y = f(x)) gián đoạn tại (x_0) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có khả năng không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, (f'(x_0)) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y = f(x)) tại điểm (M_0(x_0;f(x_0))). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (M_0(x_0;f(x_0))) là

( y – f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0))

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

(v(t) = s'(t)) là vận tốc tức thời của chuyển động (s = s(t)) tại thời điểm (t).

Loigiaihay.com

🏠 Quay lại trang chủ

Các bài viết liên quan đến

• ➡️ chi đội trưởng là gì
• ➡️ quốc trưởng là gì
• ➡️ bếp trưởng tiếng anh là gì
• ➡️ tổ trưởng tiếng anh là gì
• ➡️ trung đội trưởng là gì